［22/7］マチンの公式からπ<22/7を証明する
7/22は円周率近似値の日なので、文明の利器（マチンの公式）から雑に\(\pi<22/7\)を示した。
なお、僕が最近 22/7 にハマっていることはこの記事とは一切関係ない。1 2 3 4 5
証明の方針
\(\pi<22/7\)を示す方法はいろいろある。一番有名かつ古典的な方法は、円に外接する正96角形の周の長さから評価する方法である。6
他にも、
\begin{align}
0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{22}{7}-\pi
\end{align}
と空から降ってきた積分から簡単に示すこともできる。
今回は、マチンの公式を雑に評価することで\(\pi<22/7\)を示す。
マチンの公式
$$4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}$$
証明はWikipediaを参照。2倍角の定理と加法定理から意外と簡単に示せる。
証明
マチンの公式の\(\arctan x\)をテイラー展開すると、
\begin{align}
\frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(4\cdot\frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{5}\right)^{2n+1}+\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\left(\frac{1}{239}\right)^{2n+1}\right)
\end{align}
を得る。総和の一部を左辺に移動すると、
\begin{align}
&\frac{\pi}{4}-\left(\frac{4}{5}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5^3}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5^5}-\frac{1}{239}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{239^3}\right)\\
&=
\sum_{n=0}^{\infty}4\cdot\frac{(-1)^{n+1}}{2n+7}\left(\frac{1}{5}\right)^{2n+7}
+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+5}\left(\frac{1}{239}\right)^{2n+5}
\end{align}
となる。右辺は負7なので、
\begin{align}
\frac{\pi}{4}&<\frac{4}{5}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5^3}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5^5}-\frac{1}{239}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{239^3}\\
&<\frac{4}{5}-\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5^3}+\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5^5}-\frac{1}{245}+\frac{1}{25^3}\\
&=\frac{1804360}{3\cdot5^6\cdot7^2}
\end{align}
となる。ここで、
\begin{align}
4\cdot\frac{1804360}{3\cdot5^6\cdot7^2} &< \frac{7217440}{3\cdot5^6\cdot7^2}+\frac{1010}{3\cdot5^6\cdot7^2} \\
&=22\cdot\frac{3\cdot5^6\cdot7}{3\cdot5^6\cdot7^2} \\
&=\frac{22}{7}
\end{align}
なので、
\begin{align}
\pi < \frac{22}{7}
\end{align}
を得る。
notes
- グループ名の由来は円周率の近似値から。無限に続く可能性を表している
- 「22/7 計算中（全76回）」を1週間で一気観してしまった
みうちゃん推し。シンパシーを感じる- 一人称が「つぼ」のキャラがいてしゃべるたびにドキドキする
- 最近リリースされた音ゲーが難しすぎて泣いた
- 2000年以上前に、アルキメデスが\(3+10/71<\pi<3+1/7\)を示している
\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2n+7}\left(\frac{1}{5}\right)^{2n}
&<-\frac{1}{7}+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{9}\frac{1}{25^m}\\
&=-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\frac{1}{1-\frac{1}{25}}\\
&<0.
\end{align}
第2項も同様。
一人称が「つぼ」のキャラがいてしゃべるたびにドキドキする